Números característicos de una representación

Resumen:

 Dada una 3-varidad compacta y orientada y una representación de su grupo fundamental en el grupo general lineal de los complejos, podemos definir la clase característica asociada a la representación tomando las clases de Chern del haz vectorial complejo asociado a la representación. Dicha clase es un elemento en la cohomología de de Rham de la variedad. Cheeger y Simon dieron una definición similar para las denominadas clases características secundarias, pero, esta vez, las clases se definen en la cohomologia de la variedad con coeficientes en los complejos módulo los enteros. Es posible identificar esta cohomología con los homomorfismos de la homología respectiva a los complejos módulo los enteros. Los números característicos se definen evaluando la clase característica de la representación en la clase fundamental de la variedad. En esta plática daremos una forma de calcular números característicos por medio del determinante de la representación y del teorema del índice de Atiyah Patodi Singer. Daremos, como ejemplo, los primeros números característicos de representaciones del grupo fundamental de 3-variedades esféricas. Por otro lado, la representación induce un homomorfismo entre la homología de la variedad y la homología del general lineal. Nuevamente, evaluar la clase fundamental de la variedad define un invariante de la misma, para el caso de 3-esferas racionales de homología, el invariante se define como un elemento en el tercer K-grupo algebraico de los complejos. Además, daremos una construcción que recupera el espectro de las 3-variedades esféricas ya mencionadas.

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